本题要求计算积分∫f(t)dt，其中f(t)是一个分段函数，确定积分的上下限，将积分区间划分为各个分段区间，在每个分段区间内，f(t)分别具有不同的表达式，因此需要分别计算这些区间上的积分，最后将结果相加得到总积分，这个过程需要特别注意分段函数在分界点处的连续性，以确保积分的准确性，积分结果将反映f(t)在不同区间上的累积效应。

    e^t, 当 t ∈ [1, 2) } ]

∫₀² f(t) dt = ∫₀¹ t² dt + ∫₁² e^t dt

∫₀¹ t² dt = [ t³/3 ]₀¹ = 1/3 - 0 = 1/3

∫₁² e^t dt = [ e^t ]₁² = e² - e

∫₀² f(t) dt = 1/3 + e² - e

∫₀² f(t) dt = \boxed{\dfrac{1}{3} + e^2 - e}